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ずん
「なんかdxがヤバいらしいのだ。分数じゃないって言われたり、分数として扱われたり...ボク、数学に騙されてる気分なのだ！」
でぇじょうぶ博士
「おや、ずん君。それは微分積分学における最大の『建前と本音問題』でやんすね。教科書は『dy/dxは分数じゃない』と厳粛に宣言しつつ、裏では『dx=g'(u)du』とか平気で計算してるでやんす。」
やきう
「ワイもそれ思ってたわ。先生に聞いたら『便宜的だから気にすんな』て言われてな。テメェが説明できんだけやろって思ったで。」
でぇじょうぶ博士
「まさにその通りでやんす。『便宜的』というのは数学界における最高級の逃げ口上でやんすからね。おいらに言わせれば、それは『おいらもよくわかってないでやんす』の婉曲表現でやんす。」
ずん
「じゃあ数学者も分かってないってことなのだ？数学って全部カチッと決まってるんじゃないのだ？」
でぇじょうぶ博士
「それが違うでやんす。数学は完璧な学問のように見えて、実は『約束事の塊』でやんす。dxの正体なんて、見る角度によって全然違うものに見えるでやんすよ。」
やきう
「は？じゃあ答えないんかいな。数学のクセに曖昧すぎやろ。これじゃ占いと変わらんやんけ。」
でぇじょうぶ博士
「違うでやんす、やきう君。答えが『複数ある』ということと『ない』ということは全く別でやんす。dxは線形関数としても見られるし、無限小量としても見られる。それぞれに意味があるでやんす。」
ずん
「ちょ、待つのだ。無限小量って19世紀に追放されたんじゃないのだ？ライプニッツがボコボコにされたって聞いたのだ。」
でぇじょうぶ博士
「よく知ってるでやんすね。でも1960年代にロビンソンが超準解析で復活させたでやんす。追放された概念が300年後に復権とか、まるで数学版『仁義なき戦い』でやんすよ。」
やきう
「結局、教科書が『dy/dxは分数やない』て言うてるのは何やったんや？ワイら学生を馬鹿にしとんのか？」
でぇじょうぶ博士
「いえいえ、それはεδ論法で厳密化された結果でやんす。でも厳密化と引き換えに、直感的な分かりやすさを犠牲にしたでやんすね。」
ずん
「じゃあさ、置換積分で『dx=g'(u)du』って普通に計算するじゃん？あれ完全に分数扱いしてるのだ。矛盾してないのだ？」
でぇじょうぶ博士
「それが面白いところでやんす。形式的には分数じゃないのに、分数として扱うと正しい答えが出る。これは偶然じゃなくて、背後に微分形式という深い理論があるでやんす。」
やきう
「微分形式？また訳わからん用語出してきたな。要するに後付けの理屈やろ？」
でぇじょうぶ博士
「後付けというより『再解釈』でやんすね。dxを線形関数として見直すことで、あの『方便』に数学的な正当性を与えたでやんす。多様体論という幾何学とも繋がってるでやんすよ。」
ずん
「うーん...でもさ、2変数になると∂f/∂s = (∂f/∂x)(∂x/∂s) + (∂f/∂y)(∂y/∂s)みたいに、約分できなくなるのだ。これ完全に裏切られた気分なのだ！」
でぇじょうぶ博士
「それこそがdxの正体を理解する必要性でやんす。1変数で通用した魔法が多変数で効かなくなるのは、dxが単なる記号以上のものだからでやんす。」
やきう
「ほな結局、どう理解すればええんや？ワイはもう脳みそパンクしそうやで。」
でぇじょうぶ博士
「加藤先生の連載では、歴史→微分形式→超準解析という順で光を当てていくそうでやんす。dxの意味は一つじゃなく、複数の側面から見ることで全体像が見えてくるでやんす。」
ずん
「つまり...dxは『複合概念』ってやつなのだ？一つの答えを求めるんじゃなくて、色んな見方を知るべきってことなのだ？」
でぇじょうぶ博士
「その通りでやんす！数学の深い概念は大抵そうでやんす。円周率πだって、円の性質としても見られるし、オイラーの公式でe^(iπ)=-1としても現れる。多面的でやんすよ。」
やきう
「まあ確かに...変数分離形で ydy=xdx て書いて両辺積分するの、あれ完全に分数やもんな。でもちゃんと答え出るし。不思議やわ。」
でぇじょうぶ博士
「不思議に感じるのは健全でやんす。その違和感こそが数学を深く理解する入り口でやんすからね。『方便だから気にするな』で済ませたら、そこで成長は止まるでやんす。」
ずん
「でもさ、結局『完璧な答え』はないんでしょ？それって数学として不完全じゃないのだ？ボク、もっとスッキリした真理が欲しいのだ！」
でぇじょうぶ博士
「ずん君、それは数学に対する誤解でやんす。数学は『唯一絶対の真理』を示すものじゃなく、『論理的に一貫した体系』を構築するものでやんす。dxの解釈が複数あっても、それぞれが厳密なら問題ないでやんす。」
やきう
「なんや哲学みたいになってきたな。ワイは単純に計算できればええねんけど。」
ずん
「ちょっと待つのだ、やきう！それは思考停止なのだ！ボクたちは『なぜ』を問わなきゃダメなのだ...って、あれ？ボク今いいこと言った気がするのだ！」
でぇじょうぶ博士
「珍しく良いことを言うでやんすね、ずん君。その『なぜ』こそが数学の本質でやんす。dxの正体を問うことは、微分積分学の風景を一変させる可能性があるでやんす。」
やきう
「ま、理屈はええから、早よ続き読ませてくれや。ライプニッツの時代まで遡るんやろ？300年前の数学者が何考えてたか、ちょっと興味あるわ。」
ずん
「そうなのだ！次回は17世紀にタイムスリップなのだ！ライプニッツ先生、ボクの疑問に答えてくれるかな...って、もう死んでるのだ！」
