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ずんスレ主
なんかdxがヤバいらしいのだ。分数じゃないって言われたり、分数として扱われたり...ボク、数学に騙されてる気分なのだ！
でぇじょうぶ博士
おや、ずん君。それは微分積分学における最大の『建前と本音問題』でやんすね。教科書は『dy/dxは分数じゃない』と厳粛に宣言しつつ、裏では『dx=g'(u)du』とか平気で計算してるでやんす。
やきう
ワイもそれ思ってたわ。先生に聞いたら『便宜的だから気にすんな』て言われてな。テメェが説明できんだけやろって思ったで。
でぇじょうぶ博士
まさにその通りでやんす。『便宜的』というのは数学界における最高級の逃げ口上でやんすからね。おいらに言わせれば、それは『おいらもよくわかってないでやんす』の婉曲表現でやんす。
ずん
じゃあ数学者も分かってないってことなのだ？数学って全部カチッと決まってるんじゃないのだ？
でぇじょうぶ博士
それが違うでやんす。数学は完璧な学問のように見えて、実は『約束事の塊』でやんす。dxの正体なんて、見る角度によって全然違うものに見えるでやんすよ。
やきう
は？じゃあ答えないんかいな。数学のクセに曖昧すぎやろ。これじゃ占いと変わらんやんけ。
でぇじょうぶ博士
違うでやんす、やきう君。答えが『複数ある』ということと『ない』ということは全く別でやんす。dxは線形関数としても見られるし、無限小量としても見られる。それぞれに意味があるでやんす。
ずん
ちょ、待つのだ。無限小量って19世紀に追放されたんじゃないのだ？ライプニッツがボコボコにされたって聞いたのだ。
でぇじょうぶ博士
よく知ってるでやんすね。でも1960年代にロビンソンが超準解析で復活させたでやんす。追放された概念が300年後に復権とか、まるで数学版『仁義なき戦い』でやんすよ。
やきう
結局、教科書が『dy/dxは分数やない』て言うてるのは何やったんや？ワイら学生を馬鹿にしとんのか？
でぇじょうぶ博士
いえいえ、それはεδ論法で厳密化された結果でやんす。でも厳密化と引き換えに、直感的な分かりやすさを犠牲にしたでやんすね。
ずん
じゃあさ、置換積分で『dx=g'(u)du』って普通に計算するじゃん？あれ完全に分数扱いしてるのだ。矛盾してないのだ？
でぇじょうぶ博士
それが面白いところでやんす。形式的には分数じゃないのに、分数として扱うと正しい答えが出る。これは偶然じゃなくて、背後に微分形式という深い理論があるでやんす。
やきう
微分形式？また訳わからん用語出してきたな。要するに後付けの理屈やろ？
でぇじょうぶ博士
後付けというより『再解釈』でやんすね。dxを線形関数として見直すことで、あの『方便』に数学的な正当性を与えたでやんす。多様体論という幾何学とも繋がってるでやんすよ。
ずん
うーん...でもさ、2変数になると∂f/∂s = (∂f/∂x)(∂x/∂s) + (∂f/∂y)(∂y/∂s)みたいに、約分できなくなるのだ。これ完全に裏切られた気分なのだ！
でぇじょうぶ博士
それこそがdxの正体を理解する必要性でやんす。1変数で通用した魔法が多変数で効かなくなるのは、dxが単なる記号以上のものだからでやんす。
やきう
ほな結局、どう理解すればええんや？ワイはもう脳みそパンクしそうやで。
でぇじょうぶ博士
加藤先生の連載では、歴史→微分形式→超準解析という順で光を当てていくそうでやんす。dxの意味は一つじゃなく、複数の側面から見ることで全体像が見えてくるでやんす。
ずん
つまり...dxは『複合概念』ってやつなのだ？一つの答えを求めるんじゃなくて、色んな見方を知るべきってことなのだ？
でぇじょうぶ博士
その通りでやんす！数学の深い概念は大抵そうでやんす。円周率πだって、円の性質としても見られるし、オイラーの公式でe^(iπ)=-1としても現れる。多面的でやんすよ。
やきう
まあ確かに...変数分離形で ydy=xdx て書いて両辺積分するの、あれ完全に分数やもんな。でもちゃんと答え出るし。不思議やわ。
でぇじょうぶ博士
不思議に感じるのは健全でやんす。その違和感こそが数学を深く理解する入り口でやんすからね。『方便だから気にするな』で済ませたら、そこで成長は止まるでやんす。
ずん
でもさ、結局『完璧な答え』はないんでしょ？それって数学として不完全じゃないのだ？ボク、もっとスッキリした真理が欲しいのだ！
でぇじょうぶ博士
ずん君、それは数学に対する誤解でやんす。数学は『唯一絶対の真理』を示すものじゃなく、『論理的に一貫した体系』を構築するものでやんす。dxの解釈が複数あっても、それぞれが厳密なら問題ないでやんす。
やきう
なんや哲学みたいになってきたな。ワイは単純に計算できればええねんけど。
ずん
ちょっと待つのだ、やきう！それは思考停止なのだ！ボクたちは『なぜ』を問わなきゃダメなのだ...って、あれ？ボク今いいこと言った気がするのだ！
でぇじょうぶ博士
珍しく良いことを言うでやんすね、ずん君。その『なぜ』こそが数学の本質でやんす。dxの正体を問うことは、微分積分学の風景を一変させる可能性があるでやんす。
やきう
ま、理屈はええから、早よ続き読ませてくれや。ライプニッツの時代まで遡るんやろ？300年前の数学者が何考えてたか、ちょっと興味あるわ。
ずん
そうなのだ！次回は17世紀にタイムスリップなのだ！ライプニッツ先生、ボクの疑問に答えてくれるかな...って、もう死んでるのだ！
